Question

已知圆C:x²+y²+2x-4y+3=0.

(1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等,求此切线的方程;

(2)从圆C外一点P(x₁,y₁)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,求使得|PM|取得最小值的点P的坐标.

Answer 1

(1)x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+)x或y=(2-)x;?

(2)

解析:(1)∵切线在两坐标轴上的截距相等,∴当截距不为零时,设切线方程为x+y=a.?

又∵圆C:(x+1)²+(y-2)²=2,?

∴圆心C(-1,2)到切线的距离等于圆半径,

当截距为零时,设y=kx,同理可得k=2+或k=2-.?

则所求切线的方程为x+y+1=0或x+y-3=0或y=(2+)x或y=(2-)x.?

(2)∵切线PM与半径CM垂直,?

∴|PM|²=|PC|²-|CM|².?

∴(x₁+1)²+(y₁-2)²-2=x₁²+y₁².?

∴2x₁-4y₁+3=0.?

∴动点P的轨迹是直线2x-4y+3=0.?

∴|PM|的最小值就是|PO|的最小值.?

而|PO|的最小值为点O到直线2x-4y+3=0的距离