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    【题目】如图所示，近日我渔船编队在岛周围海域作业，在岛的南偏西20°方向有一个海面观测站，某时刻观测站发现有不明船只向我渔船编队靠近，现测得与相距31海里的处有一艘海警船巡航，上级指示海警船沿北偏西40°方向，以40海里/小时的速度向岛直线航行以保护我渔船编队，30分钟后到达处，此时观测站测得间的距离为21海里．

    (Ⅰ)求的值；

    (Ⅱ)试问海警船再向前航行多少分钟方可到岛？

    【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛.

    【解析】

    (Ⅰ) 在中，根据余弦定理求得余弦值，再求正弦值得到答案.

    (Ⅱ)首先利用和差公式计算，中，由正弦定理可得长度，最后得到时间.

    (Ⅰ)由已知可得，

    中，根据余弦定理求得，

    ∴．

    (Ⅱ)由已知可得，

    ∴．

    中，由正弦定理可得，

    ∴分钟．

    即海警船再向前航行22.5分钟即可到达岛．

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    【题目】如图，在正三棱柱中，底面的边长为2，侧棱长为4，是线段上一点，是线段的中点，为的中点.以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系.

    （1）若，求直线和平面所成角的正弦值；

    （2）若二面角的正弦值为，求的长.

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    【题目】已知椭圆的离心率为，右焦点为。斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为。

    （1）求椭圆的方程；

    （2）求的面积。

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    【题目】如图，已知等腰直角三角形的斜边所在直线方程为，其中点在点上方，直角顶点的坐标为．

    （1）求边上的高线所在直线的方程；

    （2）求等腰直角三角形的外接圆的标准方程；

    （3）分别求两直角边，所在直线的方程．

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    【题目】如图，在道路边安装路灯，路面宽，灯柱高14，灯杆与地面所成角为30°．路灯采用锥形灯罩，灯罩轴线与灯杆垂直，轴线，灯杆都在灯柱和路面宽线确定的平面内．

    （1）当灯杆长度为多少时，灯罩轴线正好通过路面的中线?

    （2）如果灯罩轴线AC正好通过路面的中线，此时有一高2.5 的警示牌直立在处，求警示牌在该路灯灯光下的影子长度．

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    【题目】（Ⅰ）已知函数f（x）=|2x﹣3|﹣2|x|，若关于x不等式f（x）≤|a+2|+2a恒成立，求实数a的取值范围； （Ⅱ）已知正数x，y，z满足2x+y+z=1，求证 ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】某制造商月生产了一批乒乓球，随机抽样个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表

    分组

    频数

    频率

    10

    20

    50

    20

    合计

    100

    (1)请在上表中补充完成频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；

    (2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间的中点值是)作为代表.据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数).

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    【题目】已知函数f（x）=e2x（ax2+2x﹣1），a∈R．
    （Ⅰ）当a=4时，求证：过点P（1，0）有三条直线与曲线y=f（x）相切；
    （Ⅱ）当x≤0时，f（x）+1≥0，求实数a的取值范围．

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    【题目】如图，平面平面，其中为矩形，为梯形，，，.

    （Ⅰ）求证：平面；

    （Ⅱ）若二面角的平面角的余弦值为，求的长.

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