Question

【题目】已知函数（是自然对数的底数，）.

（1）求函数的图象在处的切线方程；

（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；

（3）若函数在区间上有两个极值点，且恒成立，求满足条件的的最小值（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值）.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）利用导数的几何意义计算即可；

（2）在上恒成立，只需，注意到；

（3）在上有两根，令，求导可得在上单调递减，在上单调递增，所以且，，，求出的范围即可.

（1）因为，所以，

当时，，

所以切线方程为，即.

（2），.

因为函数在区间上单调递增，所以，且恒成立，

即，

所以，即，又，

故，所以实数的取值范围是.

（3）.

因为函数在区间上有两个极值点，

所以方程在上有两不等实根，即.

令，则，由，得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，解得且.

又由，所以，

且当和时，单调递增，

当时，单调递减，是极值点，

此时

令，则，

所以在上单调递减，所以.

因为恒成立，所以.

若，取，则，

所以.

令，则，.

当时，；当时，.

所以，

所以在上单调递增，所以，

即存在使得，不合题意.

满足条件的的最小值为-4.