Question

（2012•台州一模）如图，在底面为菱形的四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=4

3

，BD=2，AC=4，点E在线段PC上．
（Ⅰ）当点E为线段PC的中点时，求证：BE⊥AC；
（Ⅱ）若二面角B-EA-D为直二面角，求直线BE与平面ABCD所成角的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设AC与BD交于点O，当点E为线段PC的中点时，EO∥PA，从而可得EO⊥平面ABCD，进而有AC⊥EO，利用四边形ABCD是菱形，可得AC⊥BD，进而可得AC⊥平面BED，即可证明BE⊥AC；
（Ⅱ）解法1，向量法，利用二面角B-EA-D为直二面角，可得平面AED的一个法向量、平面ABE的一个法向量，数量积为0，进而利用向量的夹角公式，可求直线BE与平面ABCD所成角的正切值；
解法2：在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足为F，连接DF，OF，取线段CO的中点G，证明∠EBG就是直线BE与平面ABCD所成的角，即可求得结论．

解答：（Ⅰ）证明：设AC与BD交于点O，则O为AC，BD的中点，
因为点E为线段PC的中点，所以EO∥PA..…（1分）
又PA⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，
所以AC⊥EO．…（3分）
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD，BD∩EO=O，
所以AC⊥平面BED，…（5分）
因为BE⊆平面BED，所以BE⊥AC．        …（6分）
（Ⅱ）解法1：如图建立空间直角坐标系O-xyz，
则A（-2，0，0），B（0，-1，0），C（2，0，0），D（0，1，0），P(-2，0，4

3

)，
所以

AD

=(2，1，0)，

AB

=(2，-1，0)．
设

PE

=λ

PC

(0≤λ≤1)，
则

AE

=

PE

-

PA

=(4λ，0，4

3

(1-λ))．
设平面AED的法向量

n1

为（x，y，z），
则

n1 • AD =2x+y=0 n1 • AE =4λx+4 3 (1-λ)z=0

取x=1得y=-2，
所以平面AED的一个法向量

n1

为(1，-2，

λ

(λ-1) 3

)； …（8分）
同理平面ABE的一个法向量

n2

为(1，2，

λ

(λ-1) 3

)；    …（10分）
因为平面BEA⊥平面DEA，
所以

n1

•

n2

=-3+

λ2

3(λ-1)2

=0，
得λ=

3

2

＞1（舍去），λ=

3

4

∈(0，1)，…（12分）
所以

BE

=

BP

+

PE

=(1，1，

3

)．
又因为平面ABCD的一个法向量

n3

为（0，0，1），
所以cos＜

BE

，n3＞=

3

5

，…（14分）
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为

6

2

．…（15分）
解法2：如图，在三角形ABE中，作BF⊥EA，垂足为F，连接DF，OF，
因为平面ABE⊥平面ADE，则BF⊥平面ADE，BF⊥FD．
因为OF=BO=DO=1，BD⊥AC，BD⊥PA，
所以BD⊥面PAC，面PAC⊥面ABC，BD⊥AE…（8分）
所以AE⊥平面BDF，所以OF⊥FA，
因为OA=2，所以∠FOA=60°，因为∠PCA=60°，
所以PC∥OF，CE⊥AE．…（10分）
所以CE=

1

2

AC=2，取线段CO的中点G，
则EG⊥AC，EG⊥面ABCD，
所以∠EBG就是直线BE与平面ABCD所成的角．…（12分）
因为CG=1，EG=

3

，BG=

2

，
所以tan∠EBG=

6

2

．
故直线BE与平面ABCD所成角的正切值为

6

2

．…（15分）

点评：本题考查线面垂直，考查线线垂直，考查线面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．