Question

已知如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=2BC=2AA₁=2，点E在棱AB上移动，点F为CD₁的中点．
（1）求三棱锥D₁-ADC的体积；
（2）当AE为多长时，EF∥平面DA₁D₁？并证明你的结论；
（3）求证：A₁D⊥D₁E．

Answer 1

分析：（1）利用长方体的性质可得DD₁⊥ABCD，S_△ADC，及三棱锥的体积计算公式即可得出；
（2）当AE=1时，即为相等AB的中点时，EF∥平面DA₁D₁． 取CD的中点G，连接FG，EG，利用三角形的中位线定理及平行四边形的性质即可得出FG∥D₁D，EG∥AD，再利用线面平行的判定定理即可得出；
（3）由正方形ADD₁A₁得A₁D⊥AD₁，又AB⊥A₁D即可证明A₁D⊥对角面ABC₁D₁．

解答：解：（1）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，
所以DD₁⊥ABCD，S△ADC=

1

2

×1×2=1，
所以VD1-ADC=

1

3

×S△ADC×1=

1

3

．             
（2）当AE=1时，EF∥平面DA₁D₁．      
证明如下：
取CD的中点G，连接FG，EG，则FG∥D₁D，EG∥AD，
又因为EG∩FG=G，所以平面EFG∥平面DA₁D₁，
因为EF?平面EFG，所以EF∥平面DA₁D₁．      
（3）因为ABCD-A₁B₁C₁D₁为长方体，所以AB⊥ADD₁A₁，
又因为A₁D?平面ADD₁A₁，所以AB⊥A₁D．        
因为BC=AA₁，所以四边形A₁ADD₁为正方形，所以A₁D⊥AD₁．
又因为AB∩AD₁=A，所以A₁D⊥平面ABC₁D₁；
又因为D₁E?平面ABC₁D₁，所以A₁D⊥D₁E．

点评：本题综合考查了长方体的性质、线面垂直的判定与性质定理、线面与面面平行的判定与性质定理、三角形的中位线定理、平行四边形及正方形的性质等基础知识，考查了空间想象能力、推理能力和计算能力．