Question

【题目】已知，设函数，

（1）存在，使得是在上的最大值，求的取值范围；

（2）对任意恒成立时，的最大值为1，求的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2)

【解析】试题分析: （2,）,对讨论，分①当时， ②当时， ③当时， ④当时，求出单调区间，极值，进而确定最值，解不等式，即可得到t的范围；

（2）运用参数分离，得对任意恒成立，令，，由于的最大值为1．则恒成立．
对二次求导，求出单调区间，求出极值和最值，判断的单调性，即可得到的范围．

试题解析:（1），

①当时，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，

∴，由，得，在时无解，

②当时，不合题意；

③当时，在单调递增，在递减，在单调递增，

∴即，∴，

④当时，在单调递增，在单调递减，满足条件，

综上所述：时，存在，使得是在上的最大值.

（2）对任意恒成立，

即对任意恒成立，

令，，

根据题意，可以知道的最大值为1，

则恒成立，

由于，则，当时，，

设则，

，得，，

则在上递减，在上递增，则，

∴在上是增函数.

∴，满足条件，∴的取值范围是.