Question

已知函数y=1-2a-2ax+2x²（-1≤x≤1）的最小值为f（a）．
（Ⅰ）求f（a）的表达式；
（Ⅱ）当a∈[-2，0]时，求Q=log

1

3

f(a)的值域．

Answer 1

分析：（I）先确定函数的对称轴和开口方向，由于函数要求最小值，需分三种情形讨论，最后最小值写成分段函数的形式可得函数f（a）；
（II）欲求Q=log

1

3

f(a)的值域，根据对数函数的性质，关键是求当a∈[-2，0]时，f（a）的取值范围，结合二次函数的性质即可解决．

解答：解：（Ⅰ）有题意y=2(x-

a

2

)2-

a2

2

-2a+1（-1≤x≤1），
当

a

2

＜-1，即a＜-2时，y_min=y|_x=-1=f（a）=3；…（2分）
当-1≤

a

2

≤1，即-2≤a≤2时，ymin=y|x=

a

2

=f(a)=-

a2

2

-2a+1；…（4分）
当

a

2

＞1，即a＞2时，y_min=y|_x=1=f（a）=3-4a，…（6分）
∴f（a）=

3，a＜-2 - a2 2 -2a+1，-2≤ 3-4a，a＞2

a≤2．…（8分）
（Ⅱ）当a∈[-2，0]时，Q=log

1

3

f(a)=log

1

3

(-

a2

2

-2a+1)，
设u=-

a2

2

-2a+1=-

1

2

(a+2)2+3，a∈[-2，0]，则1≤u≤3，…（10分）
此时Q=log

1

3

u∈[-1，0]．
∴Q=log

1

3

f(a)的值域为[-1，0]．…（12分）

点评：本题考查了二次函数的图象和性质，特别是求二次函数的最值，需要分类讨论，做到不重不漏，解题时要学会用分类讨论的思想方法解决问题．