Question

如图，棱柱ABCD－A₁B₁C₁D₁的所有棱长都等于2，∠ABC＝60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∠A₁AC＝60°．

(1)证明：BD⊥AA₁；
(2)求锐二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值；
(3)在直线CC₁上是否存在点P，使BP∥平面DA₁C₁？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

(1)证明见解析；(2) 二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值是．(3)存在，点P在C₁C的延长线上且使C₁C＝CP．

试题分析：(1)连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O,可证A₁O⊥底面ABCD，则可建立如图所示的空间直角坐标系，分别写出的坐标，进而得，坐标，由坐标运算可得，即两向量垂直，得两线垂直；(2)分别求出两平面的一个法向量，，利用，可得二面角的平面角的余弦值；(3)令存在，在直线CC₁ 上设，P(x，y，z)，得＝(，1＋λ，λ)，取平面DA₁C一法向量，知·＝0，得的值，P点可求．

解：连接BD交AC于O，则BD⊥AC，连接A₁O．
在△AA₁O中，AA₁＝2，AO＝1，∠A₁AO＝60°，
∴A₁O²＝＋AO²－2AA₁·AOcos 60°＝3，
∴AO²＋A₁O²＝A₁A²，∴A₁O⊥AO，
由于平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，∴A₁O⊥底面ABCD， 2分
∴以OB、OC、OA₁所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示空间直角坐标系，则A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，D(，0,0)，A₁(0,0，)．
(1)由于＝(，0,0)，＝(0,1，)，则·＝0×()＋1×0＋×0＝0，
所以:BD⊥AA₁．      4分
(2)由于OB⊥平面AA₁C₁C，
∴平面AA₁C₁C的法向量＝(1,0,0)，设⊥平面AA₁D，则
设＝(x，y，z)，
得到取，  6分
∴，
∴二面角D－A₁A－C的平面角的余弦值是．  8分
(3)假设在直线CC₁上存在点P，使BP∥平面DA₁C₁，
设，P(x，y，z)，则(x，y－1，z)＝λ(0,1，)，  9分
得P(0,1＋λ，λ)，＝(，1＋λ，λ)．
设⊥平面DA₁C₁，则．
设＝(x₃，y₃，z₃)，得到．
不妨取＝(1,0，－1)．      10分
又∵∥平面DA₁C₁，则·＝0，即－λ＝0，得λ＝－1，
即点P在C₁C的延长线上且使C₁C＝CP      12分