Question

已知函数f(x)满足f(-x)=-f(x),函数g(x)满足g(-x)=g(x),且f(x)+g(x)=a^x(a＞0且a≠1).

(1)求证:f(2x)=2f(x)·g(x);

(2)设f(x)的反函数为f^-1(x),当a=2-1时,试比较f^-1［g(x)］与-1的大小,并证明你的结论.

Answer 1

剖析:对于(1),利用函数的奇偶性,可由f(x)+g(x)=a^x求出f(x)和g(x)的表达式,易验证等式f(2x)=2f(x)·g(x)成立;(2)是判断函数值的大小关系,是否有必要求出f^-1(x),这是解题的关键.

(1)证明:因为f(x)+g(x)=a^x,

    所以f(-x)+g(-x)=a^-x.

    所以-f(x)+g(x)=a^-x.

    所以f(x)=,g(x)=.

    所以f(x)·g(x)=·==f(2x),

    即f(2x)=2f(x)·g(x).

(2)解:因为0＜a=2-1＜1,

    所以f(x)=是(-∞,+∞)上的减函数.

    又因为f(-1)==1,

    所以g(x)=≥

    =1=f(-1).

    所以f^-1［g(x)］≤-1.

讲评:在(2)中,不求出f^-1(x),而利用互为反函数的两函数的单调性的关系,这是一个技巧,应引起重视.