Question

如图，四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点，若
①求证：AF∥平面PCE
②求证：平面PCE⊥平面PCD
③求直线FC与平面PCE所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：①根据有中点找中点做出辅助线，得到三组线线平行，得到四边形是一个平行四边形，得到线线平行，根据线面平行的判断得到结论．
②要证明面面垂直，根据证明面面垂直的判断需要找一条和两个平面垂直的一条直线，根据线面垂直的判断和性质，得到结论．
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE，得到∠FCH是FC与平面PCE所成的角，在这个可解的三角形中，求出角的正弦值．
解答：解：①取PC中点G，连接EG，FG；又由F为PD中点
∴FGCD又∵AECD∴FGAE∴四边形AEFG是平行四边形
∴AF∥EG
又AF?平面PCEEG?平面PCE∴AF∥平面PCE
②∵PA⊥平面ABCD∴平面PAD⊥平面ABCD
∵CD⊥AD∴CD⊥平面PAD
∴CD⊥AF
∵PA=ADF为AD中点∴AF⊥PD∵PD∩CD=D∴AF⊥平面PCD
又∵EG∥AF∴EG⊥平面PCD
又∵EG?平面PCE∴平面PCE⊥平面PCD（8分）
③在平面PCD内作FH⊥PC，则FH⊥平面PCE
∴∠FCH是FC与平面PCE所成的角
在△FCH中，，∴
∴直线FC与平面PCE所成角的正弦值为（12分）
点评：本题考查空间的点线面之间的位置关系和二面角的求法，解题的关键是画出二面角的平面角，把平面角放到一个可解的三角形中求解．