Question

设实数x，y满足条件：①x≥0，y≥0；②3x-y-6≤0；③x-y+2≥0，目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则

2

a

+

3

b

的最小值是

 

．

Answer 1

分析：已知2a+3b=6，求 的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答．

解答：解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，
由ax+by=z（a＞0，b＞0），得y=-

a

b

x+

z

b

，
则y=-

a

b

x+

z

b

的斜率k=-

a

b

＜0，
平移直线得y=-

a

b

x+

z

b

，由图象可知当直线得y=-

a

b

x+

z

b

经过点B时，直线的截距最大，
此时z最大，
由

x-y+2=0 3x-y-6=0

，解得

x=4 y=6

，
即直线x-y+2=0与直线3x-y-6=0的交点为B（4，6），
此时目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）取得最大12，
即4a+6b=12，
∴2a+3b=6，即

a

3

+

b

2

=1，
∴

2

a

+

3

b

=（

2

a

+

3

b

）（

a

3

+

b

2

）=

2

3

+

3

2

+

a

b

+

b

a

≥

15

6

+2

a b ? b a

=

15

6

+2=

25

6

，
当且仅当

b

a

=

a

b

即a=b时取等号，
∴

2

a

+

3

b

的最小值是

25

6

，
故答案为：

25

6

点评：本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题．要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值．利用数形结合是解决本题的关键．