Question

在各棱长都等于1的正四面体O-ABC中，若点P满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

(x+y+z=1)，则|

OP

|的最小值为

 

．

Answer 1

分析：根据题中的向量等式及x+y+z=1，证出

AP

=y

AB

+z

AC

，从而可得点P是平面ABC内的一点．再由正四面体O-ABC是各棱长都等于1，得到|

OP

|的最小值等于正四面体在△ABC上的高，从而可得|

OP

|的最小值．

解答：解：根据题意，可得
∵点P满足

OP

=x

OA

+y

OB

+z

OC

(x+y+z=1)，
∴

AP

=

OP

-

OA

=-y(

OA

-

OB

)-z(

OA

-

OC

)，
可得

AP

=-y

BA

-z

CA

=y

AB

+z

AC

，
∴点P是平面ABC内的一点．
又∵正四面体O-ABC是各棱长都等于1，
∴当点P与O在ABC上的射影重合时，

|OP|

等于正四面体的高，
此时|

OP

|=

6

3

且

|OP|

达到最小值．
故答案为：

6

3

点评：本题给出正四面体内的点P满足的向量等式，求|

OP

|的最小值．着重考查了空间向量的线性运算、正四面体的性质等知识，属于中档题．