Question

【题目】已知数列{an}的各项都是正数，a1=1，an+12=an2+ （n∈N*）
（1）求证： ≤an＜2（n≥2）
（2）求证：12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（an+1﹣an）＞ ﹣ （n∈N*）

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵an＞0，an+12=an2+ ，∴an+1＞an，

∴{an}是递增数列．

由a1=1，得a2= ，

当n≥2时，an+12﹣an2= ≥ ，

∴an2﹣an﹣12≥ ，an﹣12﹣an﹣22≥ ，…，a32﹣a22≥ ，

以上各式相加得：an2﹣a22≥ （ + +…+ ），

而 + +…+ ≥ + +…+ =（ + +… ﹣ ）= ，

∴an2﹣2≥ ，即an2≥2+ ，

∴an≥ ，

又an+12=an2+ =（an+ ）2﹣ ＜（an+ ）2，

∴an+1＜an+ ，即an+1﹣an＜ ，

∴an﹣an﹣1＜ ，an﹣1﹣an﹣2＜ ，…，a3﹣a2＜ ，a2﹣a1＜ ，

以上各式相加得：an﹣a1＜ （ + +…+ ）＜ （1+ + +…+ ）= （2﹣ ）＜1，

∴an＜a1+1=2

（2）证明：∵an+12=an2+ ，

∴n2（an+12﹣an2）=an，

∴n2（an+1﹣an）= = ﹣ ，

又an+1﹣an= ＜ ，

∴n2（an+1﹣an）= ﹣ ＞ ﹣ ﹣ ，

∴12（a2﹣a1）+22（a3﹣a2）+…+n2（an+1﹣an）＞ ﹣ （ + + +…+ ）

＞ ﹣ （1+ + +…+ ）= ﹣ （1+1﹣ ）＞ ﹣

【解析】（1）由条件得an2﹣an﹣12≥ ，an﹣12﹣an﹣22≥ ，…，a32﹣a22≥ ，各式累加后放缩得出结论；（2）由条件得n2（an+1﹣an）= = ﹣ ＞ ﹣ ﹣ ，各式累加后放缩得出结论．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用数列的前n项和和不等式的证明的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；不等式证明的几种常用方法:常用方法有：比较法（作差，作商法）、综合法、分析法；其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，函数单调性法，数学归纳法等．