Question

设f（x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f（x）≤丨f（

π

6

）丨对一切x∈R恒成立，则以下结论正确的是

①②③

（写出所有正确结论的编号）．
①f（

11π

12

）=0；
②f（x）既不是奇函数也不是偶函数；
③|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|；
④f（x）在区间[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）上单调递减．

Answer 1

分析：化简f（x）的解析式，利用已知条件中的不等式恒成立，得f（

π

6

） 是三角函数的最大值，得到x=

π

6

是三角函数的对称轴，将其代入整体角令整体角等于kπ+

1

2

，求出辅助角θ，再通过整体处理的思想研究函数的性质．

解答：解：由于 f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+θ），且cosθ=

a

a2+b2

，sinθ=

b

a2+b2

，
f（x）≤丨f（

π

6

）丨对一切x∈R恒成立，故直线x=

π

6

 是函数f（x）的一条对称轴，
可得2×

π

6

+θ=

π

2

+kπ，k∈Z，因此θ=

π

6

+kπ，k∈Z，故 f（x）=asin2x+bcos2x=

a2+b2

sin（2x+

π

6

+kπ）=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

）．
对于①，因为sin（2×

11π

12

+

π

6

）=sin2π=0，所以f（

11π

12

）=

a2+b2

sin（2

11π

12

+

π

6

+kπ）=0，故①正确．
对于②，根据函数的表达式，得f（-x）≠±f（x），故y=f（x）既不是奇函数也不是偶函数，故②正确．
对于③，由|f（

7π

10

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

+π+kπ）|=

a2+b2

|sin

17π

30

|=

a2+b2

sin

17π

30

，
而|f（

π

5

）|=

a2+b2

|sin（

17π

30

+kπ）|=

a2+b2

sin

17π

30

，可得|f（

7π

10

）|=|f（

π

5

）|成立，故③正确．
对于④，因为函数的表达式f（x））=±

a2+b2

sin（2x+

π

6

），表达式不确定，故[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]（k∈Z）不一定是增区间，故④不正确．
综上可得，只有①②③正确，
故答案为 ①②③．

点评：本题给出符合已知条件的三角函数表达式，叫我们判断几个选项的正确性，着重考查了函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质、两角和与差的三角函数，属于中档题．