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    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （1）求点M的纵坐标；
    （2）若Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，
    ①求Sn；
    ②已知an=
    2
    3
    ，n=1
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，n≥2
    ，其中n∈N*，Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．
    分析：（1）由题设条件知M是AB的中点，由中点坐标公式可以求出M点的给坐标．
    （2）①Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )    =f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )++f(
    n-1
    n
    )    ，即 Sn=f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )++f(
    1
    n
    )    以上两式相加后两边再同时除以2就得到Sn．②当n≥2时，根据题设条件，由Tn＜λ（Sn+1+1）得
    2n
    n+2
    ＜λ•
    n+2
    2
    ，∴λ＞
    4n
    (n+2)2
    =
    4n
    n2+4n+4
    =
    4
    n+
    4
    n
    +4
    ，再由均值不等式求出λ的取值范围．
    解答：解：（1）依题意由
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    知M为线段AB的中点．
    又∵M的横坐标为
    1
    2
    ，A（x1，y1），B（x2，y2）即
    x1+x2
    2
    =
    1
    2
    ?x1+x2=1
    ∴y1+y2=1+log2(
    x1
    1-x1
    •
    x2
    1-x2
    )=1+log21=1?
    y1+y2
    2
    =
    1
    2

    即M点的纵坐标为定值
    1
    2
    ．
     （2）①由（Ⅰ）可知f（x）+f（1-x）=1，
    又∵n≥2时Sn=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )
    ∴Sn=f(
    n-1
    n
    )+f(
    n-2
    n
    )+••+f(
    1
    n
    )
    两式想加得，2Sn=n-1
    Sn=
    n-1
    2

    ②当n≥2时，an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1) 
    =
    4
    (n+1)(n+2)
    =4（
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    ）
    又n=1时，a1=
    2
    3
    也适合．
    ∴an=4（
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    ）                                                                                     
    ∴Tn=
    4
    2×3
    +
    4
    3×4
    ++
    4
    (n+1)(n+2)
    =4(
    1
    2
    -
    1
    3
    +
    1
    3
    -
    1
    4
    ++
    1
    n+1
    -
    1
    n+2
    )    =4(
    1
    2
    -
    1
    n+2
    )=
    2n
    n+2
    (n∈N*)
    由
    2n
    n+2
    ≤λ(
    n
    2
    +1)    恒成立(n∈N*)?λ≥
    4n
    n2+4n+4

    而
    4n
    n2+4n+4
    =
    4
    n+
    4
    n
    +4
    ≤
    4
    4+4
    =
    1
    2
    （当且仅当n=2取等号）
    ∴λ≥
    1
    2
    ，∴λ的最小正整数为1．
    点评：本题考查了数列与函数、函数的图象、不等式等综合内容，函数图象成中心对称的有关知识，考查相关方法，考查了数列中常用的思想方法，如倒序相加法，裂项相消法求数列前n项的和，利用函数与方程的思想，转化与化归思想解答热点问题--有关恒成立问题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知抛物线C：x2=4y的焦点为F，直线l过点F交抛物线C于A、B两点．
    （Ⅰ）设A（x1，y1），B（x2，y2），求
    1
    y1
    +
    1
    y2
    的取值范围；
    （Ⅱ）是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动都有∠AQF=∠BQF？证明你的结论．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f(x)=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    的图象上两点，且
    OM
    =
    1
    2
    (
    OA
    +
    OB
    )    ，O为坐标原点，已知点M的横坐标为
    1
    2
    ．
    （Ⅰ）求证：点M的纵坐标为定值；
    （Ⅱ）定义定义Sn=
    n-1
    i=1
    f(
    i
    n
    )=f(
    1
    n
    )+f(
    2
    n
    )+…+f(
    n-1
    n
    )    ，其中n∈N*且n≥2，求S2011；
    （Ⅲ）对于（Ⅱ）中的Sn，设an=
    1
    2Sn+1
    (n∈N*)    ．若对于任意n∈N*，不等式kan3-3an2+1＞0恒成立，试求实数k的取值范围．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是椭圆
    y2
    a2
    +
    x2
    b2
    =1(a＞b＞0)    上的两点，已知O为坐标原点，椭圆的离心率e=
    		3
    2
    ，短轴长为2，且
    m
    =(
    x1
    b
    ，
    y1
    a
    )，
    n
    =(
    x2
    b
    ，
    y2
    a
    )    ，若
    m
    •
    n
    =0    ．
    （Ⅰ）求椭圆的方程；
    （Ⅱ）若直线AB过椭圆的焦点F（0，c）（c为半焦距），求△AOB的面积．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1），B（x2，y2）是函数f（x）=
    1
    2
    +log2
    x
    1-x
    图象上任意两点，且
    OM
    =
    1
    2
    （
    OA
    +
    OB
    ），已知点M的横坐标为
    1
    2
    ，且有Sn=f（
    1
    n
    ）+f（
    2
    n
    ）+…+f（
    n-1
    n
    ），其中n∈N*且n≥2，
    （1）求点M的纵坐标值；
    （2）求s2，s3，s4及Sn；
    （3）已知an=
    1
    (Sn+1)(Sn+1+1)
    ，其中n∈N*，且Tn为数列{an}的前n项和，若Tn≤λ（Sn+1+1）对一切n∈N*都成立，试求λ的最小正整数值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    设A（x1，y1）、B（x2，y2）、C（x3，y3）是抛物线y=x2上的三个动点，其中x3＞x2≥0，△ABC是以B为直角顶点的等腰直角三角形．
    （1）求证：直线BC的斜率等于x2+x3，也等于
    x2-x1x3-x2
    ；
    （2）求A、C两点之间距离的最小值．

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