Question

已知函数，其中。。
（1）若是函数的极值点，求实数a的值；
（2）若函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数在上有两个零点，求实数a的取值范围.

Answer 1

（1）；
（2）；
（3）

本试题主要是考查了导数在研究函数中的运用。
（1）根据是函数的极值点，得到在该点处的导数值为零得到参数a的值。
（2）函数的图象上任意一点处切线的斜率恒成立，则利用导数恒小于等于2.5求解实数a的取值范围；
（3）因为函数在上有两个零点，则利用导数来分析函数的单调性，得到极值与x轴的位置关系，得到结论。
解：
      ------------------2分
（1）且          ---------4分
（2）对任意的恒成立      -----------5分
对任意的恒成立   
 
而当时，取最大值为1，
，且，        --------------------7分
（3），且
；或；
在和上递增；而在上递减。 ----8分
当时
i），则在上递增，在上不可能有两个零点。-9分
ii），则在上递减，而在上递增。      
在上有极小值（也就是最小值）
而
    
时，在上有两个零点。---------------------12分
iii），则在上递减，在上不可能有两个零点。--13分
综上所述：            -------------------14分