Question

设S1=1+

1

12

+

1

22

，S2=1+

1

22

+

1

32

，S3=1+

1

32

+

1

42

，…，Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

，设S=

S1

+

S2

+…+

Sn

．
（1）设Tn=S，求Tn（用含n的代数式表示）
（2）求使Tn≥2011的最小正整数值．

Answer 1

分析：（1）由Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

[n(n+1)+1]2

n2•(n+1)2

，知

Sn

=

[n(n+1)+1]2 n2•(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，由此能求出Tn=n+1-

1

n+1

．
（2）由Tn=n+1-

1

n+1

≥2011，知

(n+1)2-1

n+1

=

n2+2n

n+1

≥2011，由n∈N^*，知n²+2n≥2011n+2011，由此能求出n的最小值．

解答：解：（1）∵Sn=1+

1

n2

+

1

(n+1)2

=

n4+2n3+3n2+2n+1

n2•(n+1)2

=

[n(n+1)+1]2

n2•(n+1)2

，
∴

Sn

=

[n(n+1)+1]2 n2•(n+1)2

=

n(n+1)+1

n(n+1)

=1+

1

n

-

1

n+1

，
所以

S1

=1+1-

1

2

，

S2

=1+

1

2

-

1

3

，

S3

=1+

1

3

-

1

4

，
…

Sn

=1+

1

n

-

1

n+1

，
∴S=

S1

+

S2

+…+

Sn

=1+1-

1

2

+1+

1

2

-

1

3

+1+

1

3

-

1

4

+…+1+

1

n

-

1

n+1

=n+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=n+1-

1

n+1

．
∵Tn=S，∴Tn=n+1-

1

n+1

．
（2）∵Tn=n+1-

1

n+1

≥2011
∴

(n+1)2-1

n+1

=

n2+2n

n+1

≥2011，
∵n∈N^*，∴n²+2n≥2011n+2011，
即n²-2009n-2011≥0，
解得n≥

2009+ 4028077

2

，或n≤

2009- 4028077

2

．
∵n∈N^*，∴n的最小值是2008．

点评：本题考查数列与不等式的综合运用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高，是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．