Question

已知z、w、x为复数，且x=（1+3i）•z，w=

z

2+i

且|w|=5

2

．
（1）若w为大于0的实数，求复数x．
（2）若x为纯虚数，求复数w．

Answer 1

分析：（1）由条件化简 z=

x

1+3i

，进而得到 w=

x

-1+7i

，由|w|=5

2

且w为大于0的实数，得到 5

2

=

x

-1+7i

，由此求得 x 的值．
（2）若x为纯虚数，设x=bi，b≠0．由（1）可得|w|=|

x

-1+7i

|=|

bi

-1+7i

|=5

2

 解得b的值即可得到 w=

x

-1+7i

=

bi

-1+7i

的值．

解答：解：（1）∵x=（1+3i）•z，∴z=

x

1+3i

．
若w为大于0的实数，
∵w=

z

2+i

=

x

(1+3i)(2+i)

=

x

-1+7i

，|w|=5

2

，
则有 5

2

=

x

-1+7i

，∴x=-5

2

+35

2

i．
（2）若x为纯虚数，设x=bi，b≠0．
由（1）可得 |

x

-1+7i

|=|

bi

-1+7i

|=5

2

，∴b=±50．
∴w=

x

-1+7i

=

50i

-1+7i

=7-i，或w=

x

-1+7i

=

-50i

-1+7i

=-7+i．

点评：本题主要考查复数的基本概念，复数代数表示法及其几何意义，两个复数代数形式的混合运算，属于基础题．