Question

【题目】设函数.

（1）若方程在上有根，求实数的取值范围；

（2）设，若对任意的，都有，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由题意可得函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零点，

h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，由此求得a的范围；

（2）对任意的，都有，即，分别求两边函数的最值即可.

（1）∵方程f（x）＝3x在上有根，

∴函数h（x）＝f（x）﹣3x＝x2+|x﹣1|﹣3x+2a 在上有零点．

由于在上，h（x）＝f（x）﹣3x＝x2﹣4x+2a+1是减函数，

故有h（0）h（1）＝（2a+1）（2a﹣2）＜0，

求得a＜1．

（2）对任意的，都有，

即

，

时，的最小值为，

时，的最小值为

故在上的最小值为

（x）＝cos2x+2asinx＝﹣sin2x+2asinx+1

令t＝sinx，因为，所以﹣1≤t≤1且y＝﹣t2+2at+1，其对称轴为t＝a，

故a≤﹣1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是减函数，最大值为﹣4a，

此时﹣4a＜1，a＞，无解；

当﹣1＜a＜1时，当t＝a时y有最大值a2 +1，

此时a2 +1＜1，即，又﹣1＜a＜1，∴0＜a＜1

当a≥1时，y＝﹣t2+2at+1在[﹣1，1]上是增函数，最大值为0

此时0＜1，显然恒成立，

综上：a的范围