Question

设M为部分正整数组成的集合，数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，已知对任意整数k∈M，当整数n＞k时，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）都成立
（1）设M={1}，a₂=2，求a₅的值；
（2）设M={3，4}，求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析：（1）由集合M的元素只有一个1，得到k=1，所以当n大于1即n大于等于2时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁）都成立，变形后，利用S_n+1-S_n=a_n+1，及a₁=1化简，得到当n大于等于2时，此数列除去首项后为一个等差数列，根据第2项的值和确定出的等差写出等差数列的通项公式，因为5大于2，所以把n=5代入通项公式即可求出第5项的值；
（2）当n大于k时，根据题意可得S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k），记作①，把n换为n+1，得到一个关系式记作②，②-①后，移项变形后，又k等于3或4得到当n大于等于8时此数列每隔3项或4项成等差数列，即a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等差数列，根据等差数列的性质得到一个关系式，记作（*），且a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等差数列，又根据等差数列的性质得到另外一个关系式，等量代换得到a_n+2-a_n=a_n-a_n-2，得到当n大于等于9时，每隔两项成等差数列，设出等差数列的四项，根据等差数列的性质化简变形，设d=a_n-a_n-1，从而得到当n大于等于2小于等于8时，n+6大于等于8，把n+6代入（*）中，得到一个关系式，同时把n+7也代入（*）得到另外一个关系式，两者相减后根据设出的d=a_n-a_n-1，经过计算后，得到n大于等于2时，d=a_n-a_n-1都成立，从而把k=3和k=4代入到已知的等式中，化简后得到d与前3项的和及d与前4项和的关系式，两关系式相减即可表示出第4项的值，根据d=a_n-a_n-1，同理表示出第3项，第2项及第1项，得到此数列为等差数列，由首项等于1即可求出d的值，根据首项和等差写出数列的通项公式即可．

解答：解：（1）由M={1}，根据题意可知k=1，所以n≥2时，S_n+1+S_n-1=2（S_n+S₁），
即（S_n+1-S_n）-（S_n-S_n-1）=2S₁，又a₁=1，
则a_n+1-a_n=2a₁=2，又a₂=2，
所以数列{a_n}除去首项后，是以2为首项，2为公差的等差数列，
故当n≥2时，a_n=a₂+2（n-2）=2n-2，
所以a₅=8；
（2）根据题意可知当k∈M={3，4}，
且n＞k时，S_n+k+S_n-k=2（S_n+S_k）①，且S_n+1+k+S_n+1-k=2（S_n+1+S_k）②，
②-①得：（S_n+1+k-S_n+k）+（S_n+1-k-S_n-k）=2（S_n+1-S_n），
即a_n+1+k+a_n+1-k=2a_n+1，可化为：a_n+1+k-a_n+1=a_n+1-a_n+1-k
所以n≥8时，a_n-6，a_n-3，a_n，a_n+3，a_n+6成等差数列，且a_n-6，a_n-2，a_n+2，a_n+6也成等差数列，
从而当n≥8时，2a_n=a_n-3+a_n+3=a_n-6+a_n+6，（*）且a_n-2+a_n+2=a_n-6+a_n+6，
所以当n≥8时，2a_n=a_n-2+a_n+2，即a_n+2-a_n=a_n-a_n-2，
于是得到当n≥9时，a_n-3，a_n-1，a_n+1，a_n+3成等差数列，从而a_n-3+a_n+3=a_n-1+a_n+1，
由（*）式可知：2a_n=a_n-1+a_n+1，即a_n+1-a_n=a_n-a_n-1，
当n≥9时，设d=a_n-a_n-1，
则当2≤n≤8时，得到n+6≥8，从而由（*）可知，2a_n+6=a_n+a_n+12，得到2a_n+7=a_n+1+a_n+13，
两式相减得：2（a_n+7-a_n+6）=a_n+1-a_n+（a_n+13-a_n+12），
则a_n+1-a_n=2d-d=d，
因此，a_n-a_n-1=d对任意n≥2都成立，
又由S_n+k+S_n-k-2S_n=2S_k，可化为：（S_n+k-S_n）-（S_n-S_n-k）=2S_k，
当k=3时，（S_n+3-S_n）-（S_n-S_n-3）=9d=2S₃；同理当k=4时，得到16d=2S₄，
两式相减得：2（S₄-S₃）=2a₄=16d-9d=7d，解得a₄=

7

2

d，
因为a₄-a₃=d，解得a₃=

5

2

d，同理a₂=

3

2

d，a₁=

d

2

，
则数列{a_n}为等差数列，由a₁=1可知d=2，
所以数列{a_n}的通项公式为a_n=1+2（n-1）=2n-1．

点评：此题考查学生灵活运用数列的递推式化简求值，掌握确定数列为等差数列的方法，会根据等差数列的首项和等差写出数列的通项公式，是一道中档题．