Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，其中AB=4，BC=2，CC₁=3，BE=1．
（Ⅰ）求BF的长；
（Ⅱ）求点C到平面AEC₁F的距离．

Answer 1

【答案】分析：解法1：
（1）因为多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的，所以AF∥EC₁，AE∥FC₁，过E作EH∥BC交CC₁于H，则CH=BE=1，所以DF=C₁H=2．故BF==2．
（2）在立体几何中，求点到平面的距离是一个常见的题型，同时求直线到平面的距离、平行平面间的距离及多面体的体积也常转化为求点到平面的距离．本题采用的是“找垂面法”：即找（作）出一个过该点的平面与已知平面垂直，然后过该点作其交线的垂线，则得点到平面的垂线段．延长C₁E与CB交于G，连AG，则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG．过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，由三垂线定理可知AG⊥C₁M．由于AG⊥面C₁MC，且AG?面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC．在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离．
解法2：
以D为坐标原点，分别以DA、DC、DF为x、y、z轴，建立空间直角坐标系O-xyz，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）．设F（0，0，z）．这种解法的好处就是：（1）解题过程中较少用到空间几何中判定线线、面面、线面相对位置的有关定理，因为这些可以用向量方法来解决．（2）即使立体感稍差一些的学生也可以顺利解出，因为只需画个草图以建立坐标系和观察有关点的位置即可．
（1）由AEC₁F为平行四边形，运用向量的模的计算方法，可得BF的长度；
（2）运用向量坐标运算计算点到平面的距离，可以先设出此平面的法向量，设为平面AEC₁F的法向量，显然不垂直于平面ADF，故可设=（x，y，1）．进一步可以求得C到平面AEC₁F的距离．
解答：解法1：（Ⅰ）过E作EH∥BC交CC₁于H，则CH=BE=1，EH∥AD，且EH=AD．
又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH．
∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁．∴DF=C₁H=2．∴BF==2．
（Ⅱ）延长C₁E与CB交于G，连AG，
则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG．
过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，
由三垂线定理可知AG⊥C₁M．由于AG⊥面C₁MC，且
AG?面AEC₁F，所以平面AEC₁F⊥面C₁MC．在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离．
由=可得，BG=1，从而AG==．
由∠GAB=∠MCG知，CM=3cosMCG=3cosGAB=3×=，∴CQ===
解法2：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）．设F（0，0，z）．
∵AEC₁F为平行四边形，∴由AEC₁F为平行四边形，∴由=得，（-2，0，z）=（-2，0，2），∴z=2．∴F（0，0，2）．∴=（-2，-4，2）．于是||=2，即BF的长为2．
（II）设为平面AEC₁F的法向量，显然不垂直于平面ADF，故可设=（x，y，1）．
⇒即∴
又=（0，0，3），设与的夹角为a，则cosα==．
∴C到平面AEC₁F的距离为d=||cosα=3×=．
点评：本小题主要考查空间中的线面关系、点到面的距离等基本知识，同时考查空间想象能力和推理、运算能力．