Question

已知命题p：关于x的方程x2+mx+

1

2

=0有两个不等的负根；命题q：函数f(x)=lg[(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m]的定义域为R．
（1）若命题p、q都是真命题时m的取值范围分别是集合A和集合B，求集合A和集合B；
（2）若命题“（?p）∨（?q）”是假命题，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）命题p是真命题时，

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

命题q是真命题时，(1-

1

m

)x2+2(m-1)x+m＞0对?x∈R恒成立，
可结合二次函数的图象进行处理．分1-

1

m

= 0和1-

1

m

＞0两种情况进行讨论．
（2）若命题“（?p）∨（?q）”是假命题，即p和q均为真命题，只要求集合A和B的交集．

解答：解：（1）当命题p是真命题时：
设x₁，x₂是方程x2+mx+

1

2

=0的两个根，
则有：

△1=m2-2＞0 x1+x2=-m＜0 x1x2= 1 2 ＞0

解得：m＞

2

，即集合A={x|m＞

2

}．
当命题q是真命题时：
①当1-

1

m

=0即m=1时，f（x）=lg1，
定义域为R，符合题意；
②当1-

1

m

≠0即m≠1且m≠0时，
由

1- 1 m ＞0 △2=4(m-1)2-4m• m-1 m ＜0

，
得

m＜0，或m＞1 1＜m＜2

即1＜m＜2
综上，1≤m＜2，所以集合B={m|1≤m＜2}．
（2）命题“（?p）∨（?q）”是假命题，
即p∧q是真命题（11分）
所以有

m＞ 2 1≤m＜2

解得：

2

＜m＜2．

点评：本题以复合命题的真假为载体考查二次方程实根分布问题和二次不等式很成立问题．
二次方程实根分布问题和二次不等式很成立问题都要结合二次函数的图象进行处理，体现函数、方程、不等式的联系．