Question

【题目】给定个不同的数、、、、，它的某一个排列的前项和为，该排列中满足的的最大值为．记这个不同数的所有排列对应的之和为．

（1）若，求；

（2）若，.

①证明：对任意的排列，都不存在使得；

②求（用表示）．

Answer 1

【答案】（1）；（2）①见解析；②.

【解析】

（1）列出、、的所有排列，求出个排列中的值，进而可求得的值；

（2）①设个不同数的某一个排列为、、、，求得为奇数，再由为偶数可得出结论；

②由题意可得出，可得出且，考虑排列的对应倒序排列，推导出，由此可得出，再由、、、、这个不同数可形成个对应组合，进而可求得的值.

（1）、、的所有排列为、、；、、；、、；、、；、、；、、.

因为，所以对应的分别为、、、、、，所以；

（2）（i）设个不同数的某一个排列为、、、，

因为，，所以为奇数，

而为偶数，所以不存在使得

（ii）因为，即，

又由（i）知不存在使得，

所以；

所以满足的最大下标即满足①，

且②，

考虑排列的对应倒序排列、、、，

①②即，，

由题意知，则；

又、、、、这个不同数共有个不同的排列，可以构成个对应组合，

且每组中，所以．