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    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的右焦点与抛物线C2：y2=4x的焦点F重合，点M是C1与C2在第一象限内的交点，且|MF|=
    5
    3
    ．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）设抛物线的准线与x轴交于点E，过E任作一条直线l，l与椭圆C1的两个交点记为A，B．问：在椭圆的长轴上是否存在一点P，使
    PA
    •
    PB
    为定值？若存在，求出点P的坐标及相应的定值；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）由抛物线的定义结合|MF|=
    5
    3
    求出M的坐标，把M的坐标代入椭圆方程，结合已知条件求得椭圆方程；
    （2）求出E点的坐标，假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．求出直线l的斜率不存在和斜率为0时的
    PA
    •
    PB
    值，由两值相等求出m的值，然后分情况证明所求的P点符合要求．
    解答：解：（1）设M（xM，yM），∵抛物线C2：y2=4x，∴其准线方程为x=-1，
    由抛物线的定义得：xM+1=
    5
    3
    ，得：xM=
    2
    3
    ，代入抛物线方程得：yM=
    2
    		6
    3
    ，
    ∴M(
    2
    3
    ，
    2
    		6
    3
    )    ．
    将此点代入椭圆方程，得
    4
    9a2
    +
    8
    3b2
    =1    ，
    又椭圆的半焦距c=1，a2=b2+c2，解得：a2=4，b2=3．
    ∴椭圆的方程为：
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1    ；
    （2）抛物线的准线与x轴交点E（-1，0），假设存在点P（m，0）（-2≤m≤2）满足要求．
    当直线l的斜率不存在时，求得两交点为(-1，
    3
    2
    )，(-1，-
    3
    2
    )    ，此时
    PA
    •
    PB
    =(-1-m)2-
    9
    4
    ；
    当直线l的斜率为0时，求得两交点为（-2，0），（2，0），此时
    PA
    •
    PB
    =(-2-m)(2-m)    ．
    由(-1-m)2-
    9
    4
    =(-2-m)(2-m)    ，解得m=-
    11
    8
    ．
    下面证明P(-
    11
    8
    ，0)    符合要求．
    当直线l的斜率为0时，
    PA
    •
    PB
    =m2-4=-
    135
    64
    ．
    当直线l的斜率不为0时，设l的方程为x=ny-1，由
    x2
    4
    +
    y2
    3
    =1
    x=ny-1
    得，（3n2+4）y2-6ny-9=0．
    设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=
    6n
    3n2+4
    ，y1y2=
    -9
    3n2+4
    ．
    此时
    PA
    •
    PB
    =(x1+
    11
    8
    )(x2+
    11
    8
    )+y1y2=(ny1-1+
    11
    8
    )(ny2-1+
    11
    8
    )+y1y2
    =
    3n
    8
    (y1+y2)+(n2+1)y1y2+
    9
    64
    =
    -9(3n2+4)
    4(3n2+4)
    +
    9
    64
    =-
    135
    64
    ．
    故存在点P(-
    11
    8
    ，0)    符合要求，对应的定值为-
    135
    64
    ．
    点评：本题考查了椭圆的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了设而不求的解题思想方法和分类讨论的数学思想方法，训练了特值验证法，考查了学生灵活处理问题的能力和计算能力，是高考试卷中的压轴题．
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，其中F2也是抛物线C2：y2=4x的焦点，M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF2|=
    5
    3
    ．
    （1）求椭圆C1的方程；
    （2）已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆C1上，对角线BD所在的直线的斜率为1．
    ①当直线BD过点（0，
    1
    7
    ）时，求直线AC的方程；
    ②当∠ABC=60°时，求菱形ABCD面积的最大值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    精英家教网已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的一条准线方程是x=
    25
    4
    ，其左、右顶点分别是A、B；双曲线C2：
    x2
    a2
    -
    y2
    b2
    =1    的一条渐近线方程为3x-5y=0．
    （1）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率；
    （2）在第一象限内取双曲线C2上一点P，连接AP交椭圆C1于点M，连接PB并延长交椭圆C1于点N，若
    AM
    =
    MP
    ．求
    MN
    •
    AB
    的值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的离心率为
    		2
    2
    ，直线l：y=x+2
    		2
    与以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆相切．
    （Ⅰ）求椭圆C1的方程．
    （Ⅱ）设椭圆C1的左焦点为F1，右焦点为F2，直线l1过点F1，且垂直于椭圆的长轴，动直线l2垂直l1于点P，线段PF2的垂直平分线交l2于点M，求点M的轨迹C2的方程；
    （Ⅲ）若AC、BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦，垂足为右焦点F2，求四边形ABCD的面积的最小值．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1（a＞b＞0）与双曲线C2：x2-
    y2
    4
    =1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点，若C1恰好将线段AB三等分，则b2=
    0.5
    0.5
    ．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2013•汕头一模）已知椭圆C1：
    x2
    a2
    +
    y2
    b2
    =1(a＞b＞0)    的左、右焦点分别为F1、F2，右顶点为A，离心率e=
    1
    2

    （1）设抛物线C2：y2=4x的准线与x轴交于F1，求椭圆的方程；
    （2）设已知双曲线C3以椭圆C1的焦点为顶点，顶点为焦点，b是双曲线C3在第一象限上任意-点，问是否存在常数λ（λ＞0），使∠BAF1=λ∠BF1A恒成立？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．

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