Question

【题目】在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：

（1）求圆C的直角坐标方程；

（2）设圆C与直线交于两点，若点的坐标为,求的最小值.

Answer 1

【答案】（1） ； （2）.

【解析】

(1)利用极坐标公式把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程.(2) 将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0,利用弦长公式求出|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|=，再求其最小值.

(1)由ρ=6sin θ得ρ2=6ρsin θ,化为直角坐标方程为x2+y2=6y,即x2+(y-3)2=9.

所以圆C的直角坐标方程为x2+(y-3)2=9.

(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得t2+2(cos α-sin α)t-7=0.

由已知得Δ=(2cos α-2sin α)2+4×7>0,

所以可设t1,t2是上述方程的两根,则

由题意得直线l过点(1,2),结合t的几何意义得|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|

===≥=2.

所以|PA|+|PB|的最小值为2.