Question

【题目】设函数f（x）=﹣ sinx cosx+1
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）若x∈[0， ]，且f（x）= ，求cosx的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：（1）函数f（x）=﹣ sinx cosx+1=﹣sin（x+ ）+1，故该函数的最小正周期为2π，

令2kπ+ ≤x+ ≤2kπ+ ，求得2kπ+ ≤x≤2kπ+ ，可得函数的增区间为[2kπ+ ，2kπ+ ]，k∈Z．

（Ⅱ）若x∈[0， ]，则x+ ∈[ ， ]，又f（x）= ，即﹣sin（x+ ）+1= ，即sin（x+ ）= ，

∴cos（x+ ）=± =± ．

若cos（x+ ）=﹣ ，则cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin =﹣ + = ＜0，不合题意，舍去．

若cos（x+ ）= ，则cosx=cos[（x+ ）﹣ ]=cos（x+ ） cos +sin（x+ ） sin = + = ．

综上可得，cosx=

【解析】（1）利用两角和的正弦公式化简函数f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性和单调性，求得函数f（x）的最小正周期和单调递增区间．（Ⅱ）若x∈[0， ]，利用同角三角函数的基本关系、两角差的余弦公式，求得cosx的值．