Question

【题目】已知五面体中，四边形为矩形，，，且二面角的大小为.

（1）证明：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）先证平面，由线面平行的性质定理得，所以由线面垂直的判定定理得平面，从而得A平面；

（2）以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立空间直角坐标系，

（1）在五面体中，四边形为矩形，所以，.

因为平面，平面，所以平面，

因为平面，平面平面，所以，又，故.因为，，，所以，

因为，所以平面，又，所以平面.

（2）过点作，垂足为，以为坐标原点，以所在的直线为轴，过平行于的直线为轴，所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，分别求平面，平面的法向量，利用向量法求解即可.

则，，，，

，，，

设平面的一个法向量为，则即

，

不妨令，则.

设平面的一个法向量为，则即

不妨令，则，则.

由图知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.