Question

如图，在直角坐标系中，A，B，C三点在x轴上，原点O和点B分别是线段AB和AC的中点，已知AO=m（m为常数），平面上的点P满足PA+PB=6m．
（1）试求点P的轨迹C₁的方程；
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，求证：点(

x

3

，

y

2 2

)一定在某圆C₂上；
（3）过点C作直线l，与圆C₂相交于M，N两点，若点N恰好是线段CM的中点，试求直线l的方程．

Answer 1

分析：（1）由题意结合椭圆的定义可得点P的轨迹C₁是以A，B为焦点的椭圆，且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，从而写出C₂的方程．
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，则点的坐标适合曲线的方程：

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．经过转换得x₀²+y₀²=m²，从而得出点(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圆C₂上．
（3）由题意C（3m，0），M（x₁，y₁），利用因为点N恰好是线段CM的中点，得到N点的坐标，代入C₂的方程得方程组，即可解得直线l有且只有一条．

解答：解：（1）由题意可得点P的轨迹C₁是以A，B为焦点的椭圆．…（2分）
且半焦距长c=m，长半轴长a=3m，则C₁的方程为

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．…（5分）
（2）若点（x，y）在曲线C₁上，则

x2

9m2

+

y2

8m2

=1．设

x

3

=x0，

y

2 2

=y0，则x=3x₀，y=2

2

y0．…（7分）
代入

x2

9m2

+

y2

8m2

=1，得x₀²+y₀²=m²，所以点(

x

3

，

y

2 2

)一定在某一圆C₂上．
…（10分）
（3）由题意C（3m，0）．…（11分）
设M（x₁，y₁），则x₁²+y₁²=m²．…①
因为点N恰好是线段CM的中点，所以N(

x1+3m

2

，

y1

2

)．代入C₂的方程得(

x1+3m

2

)2+(

y1

2

)2=m2．…②
联立①②，解得x₁=-m，y₁=0．…（15分）
故直线l有且只有一条，方程为y=0．…（16分）
（若只写出直线方程，不说明理由，给1分）

点评：本小题主要考查曲线与方程、圆锥曲线的轨迹问题等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．