Question

设以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，求△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积的最大值．

Answer 1

分析：设出∠PAQ，求出AP，QP，QA，然后得到旋转体体积的表达式，通过同角三角函数的基本关系，利用基本不等式求出体积的最大值即可．

解答：解：设∠PAQ=θ，AB=2a，所以AP=2acosθ，AQ=2acos²θ，QP=2acosθsinθ，
所以以AB=2a为直径的半圆上有一点P（如图所示），从P向AB引垂线，垂足为Q，
△APQ绕AB旋转一周，所得旋转体体积为：V=

1

3

πQP2•AQ=

1

3

π•(2asinθcosθ)2•2acos2θ
=

8

3

π•a3sin2θcos2θ •cos2θ
≤

2a3

3

(

2sin2θ+cos2θ+cos2θ

3

)3
=

16

81

a3．当且仅当sinθ=cosθ，时取等号．
所得旋转体体积的最大值

16

81

a3．

点评：本题是中档题，考查旋转体的体积的表达式，函数最大值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．