Question

（22）如图，F为双曲线C：的右焦点。P为双曲线C右支上一点，且位于轴上方，M为左准线上一点，为坐标原点。已知四边形为平行四边形，。

（Ⅰ）写出双曲线C的离心率与的关系式；

（Ⅱ）当时，经过焦点F且平行于OP的直线交双曲线于A、B点，若，求此时的双曲线方程。

Answer 1

(22)本小题主要考查直线方程、双曲线的几何性质等基本知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力及推理能力.

(Ⅰ)解法1:设为与双曲线右准线的交点,则

.

即

解法2：设为PM与双曲线右准线的交点，N为左准线与x轴的交点，F（c,0）,P()，由于P()在双曲线右支上，则

                             ①

                                 ②

由|PF|=得

                                      ③

由①、②代入③得

      

再将c=ea,b=a代入上式，得

      

化简，得

                                            ④

由题意，点P位于双曲线右支上，从而

|PM|＞|M|.

于是解得e=2，

从而c=2a,b=

由此得双曲线的方程是

      

．

下面确定a的值。

解法1：

设双曲线左准线与x轴的交点为N，P点的坐标为()，则

        |ON|=

        |MN|=

由于P()在双曲线的右支上，且位于x轴上方，因而

所以直线OP的斜率为。

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为A（)、B()，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为

          

将其代入双曲线方程整理得

          

∵        

∴  |AB|=

       

由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为

      

解法2：由条件OFPM为菱形，其对角线OP与FM互相垂直平分，其交点Q为OP的中点。

设OP的方程为则FM的方程为

       

由解得Q点的坐标为（），

所以P点的坐标为（）.

将P点的坐标代入双曲线方程，化简得

       

解得

设过焦点F且平行于OP的直线与双曲线的交点为、，则直线AB的斜率为，直线AB的方程为

将其代入双曲线方程，整理得

        

∵     

∴

 

由|AB|=12得a=1.于是，所求双曲线的方程为