Question

如图，正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的侧棱长为1，底面边长为2，E是棱BC的中点．
（1）求证：BD₁∥平面C₁DE；
（2）求三棱锥D-D₁BC的体积．

Answer 1

分析：（1）利用三角形中位线的性质，证明线线平行，从而可得线面平行；
（2）利用等体积VD-D1BC=VD1-DBC，即可求得三棱锥D-D₁BC的体积．

解答：（1）证明：连接D₁C交DC₁于F，连接EF，
在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面四边形DCC₁D₁为矩形，
∴F为D₁C的中点．
又E为BC的中点，∴EF∥D₁B．
∴BD₁∥平面C₁DE．…（6分）
（2）解：连接BD，VD-D1BC=VD1-DBC，
又△BCD的面积为S=

1

2

×2×2=2．
故三棱锥D-D₁BC的体积VD1-DBC=

1

3

•S△BCD•D1D=

1

3

×2×1=

2

3

．…（12分）

点评：本题考查线面平行，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．