Question

【题目】定义函数，(0，)为型函数，共中．

（1）若是型函数，求函数的值域；

（2）若是型函数，求函数极值点个数；

（3）若是型函数，在上有三点A、B、C横坐标分別为、、，其中＜＜，试判断直线AB的斜率与直线BC的斜率的大小并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）1个；（3）见解析.

【解析】

（1）先对函数求导求出其单调性，结合端点值求出值域；（2）先求导令导数等于0，求极值点个数只需判断导数零点的个数，化简整理后得，将导数零点转化为两个函数的交点问题，利用图像观察求出交点个数；（3）先求导再进行二阶求导，利用二阶导数研究一阶导数的单调性与范围，再得出原函数的单调性，因为二阶导数小于0，所以函数是三凸的单调递减函数，结合函数图像很容易得出两直线斜率的关系.

解：（1）因为，

所以

当时，，单调递增

当时，，单调递减

又因为，，

所以函数的值域为

（2）因为，

所以，

当时，

结合函数图像易知与在上有且只有一个交点

当，时，，

当时，，，

当时，，，

且当时，

当 时，，函数单调递增

当 时，，函数单调递减

所以函数只有一个极大值点，极值点个数为1个

（3）因为，

所以

所以

所以在上单调递减，且，所以

构造函数,

则

记,

则

当时，，单调递增

当时，，单调递减

又因为，所以，所以

所以在和上单调递减

因为＜＜

所以

所以

所以直线AB的斜率大于直线BC的斜率