Question

P为椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上一点，F₁、F₂为左右焦点，∠F₁PF₂=90°
（1）若PF₁的中点为M，求证|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）求△F₁PF₂的面积；
（3）求P点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的方程，算出a=5、b=3且c=4，△PF₁F₂中利用中位线定理，结合椭圆的定义即可证出PF₁的中点M满足关系式|MO|=5-

1

2

|PF1|；
（2）设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，根据椭圆的定义和勾股定理建立关于t₁、t₂的方程组，平方相减即可求出|PF₁|•|PF₂|=18，结合直角三角形面积公式即可算出△F₁PF₂的面积；
（3）设P（x，y），根据△F₁PF₂的面积S_△ F1PF2=

1

2

•2c•|y|=9，解出y=±

9

4

，再代入椭圆方程求出横坐标的值，即可得到P点的坐标．

解答：解：∵椭圆方程为

x2

25

+

y2

9

=1，
∴a=5，b=3，可得c=

a2-b2

=4
（1）∵△PF₁F₂中，O、M分别是PF₁、F₁F₂的中点
∴|OM|=

1

2

|PF₂|，根据椭圆的定义得|PF₂|=10-|PF₁|
因此，|OM|=

1

2

|PF2|=5-

1

2

|PF1|；
（2）设|PF₁|=t₁，|PF₂|=t₂，则t₁+t₂=10①
又∵Rt△PF₁F₂中，利用勾股定理得

t

2 1

+

t

2 2

=(2c)2=82②，
由①²-②，得t₁t₂=18
∴△F₁PF₂的面积S_△ F1PF2=

1

2

t1t2=9；
（3）设P（x，y），由S_△ F1PF2=

1

2

•2c•|y|=4•|y|，
得4|y|=9，解之得|y|=

9

4

⇒y=±

9

4

，
将y=±

9

4

代入椭圆方程解，得x=±

5 7

4

，
∴P点的坐标为P(

5 7

4

，±

9

4

)或P(-

5 7

4

，±

9

4

)．

点评：本题给出椭圆的焦点三角形为直角三角形，求它的面积和直角顶点P的坐标，着重考查了勾股定理、椭圆的定义和简单几何性质等知识，属于基础题．