Question

定义在R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数，当x=1时，f（x）取得最大值．
（1）求a、b的值；
（2）设曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l与y轴的交点为（0，t），求实数t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数，可得f（0）=0，从而可求b=0，利用当x=1时，f（x）取得最大值，可求a=1，并确定函数的定义域；
（2）先求曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l，进而可求切线y轴的交点，从而构建函数，结合函数的定义域，利用导数法，可求实数t的取值范围．

解答：解：（1）∵R上的函数f(x)=

x+b

ax2+1

（a，b∈R且a≠0）是奇函数
∴f（0）=0，解得b=0
∴f(x)=

x

ax2+1

∴f′（x）=

ax2+1-x×2ax

(ax2+1)2

=

-ax2+1

(ax2+1)2

∵当x=1时，f（x）取得最大值
∴f′（1）=

-a +1

(a+1)2

=0
∴a=1
（2）由（1）知，f(x)=

x

x2+1

，f′（x）=

-x2+1

(x2+1)2

∴f′（x₀）=

-x02+1

(x02+1)2

∴曲线y=f（x）在点（x₀，f（x₀））处的切线l为：y-

x0

x02+1

=

-x02+1

(x02+1)2

×(x-x0)
令x=0，则y=

x0

x02+1

+

-x02+1

(x02+1)2

×(0-x0)
∴t=

2x03

(x02+1)2

∴t′=

2x02(x02+1)(3-x02)

(x02+1)4

由t′＞0，可得3-x0 2＜0，解得-

3

＜x0＜

3

；
由t′＜0，可解得x₀＜-

3

，x0＞

3

∴函数在[-

3

，

3

]上单调增，在（-∞，-

3

），（

3

，+∞）上单调减
∵x₀＞0，t＞0；x₀＜0，t＜0
∴x₀=-

3

时，tmin=-

3 3

8

；x₀=

3

时，tmax=

3 3

8

∴实数t的取值范围是[-

3 3

8

， 

3 3

8

]．

点评：本题重点考查导数知识的运用，考查函数的性质，考查导数的几何意义，解题的关键是确定函数的解析式，确定函数的定义域．