Question

（07年江西卷文）（14分）

设动点到点和的距离分别为和，，

且存在常数，使得．

（1）证明：动点的轨迹为双曲线，并求出的方程；

（2）如图，过点的直线与双曲线的右支交于 两点．问：是否存在，使

是以点为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．

 

Answer 1

解析：（1）在中，

（小于的常数）

故动点的轨迹是以，为焦点，实轴长的双曲线．

方程为．

（2）方法一：在中，设，，，．

假设为等腰直角三角形，则

由②与③得，

则

由⑤得，

，，

故存在满足题设条件．

方法二：（1）设为等腰直角三角形，依题设可得

所以，．

则．①

由，可设，

则，．

则．②

由①②得．③

根据双曲线定义可得，．

平方得：．④

由③④消去可解得，

故存在满足题设条件．