Question

已知圆，点N（3r，0），其中r＞0，设P是圆上任一点，线段PN上的点Q满足
（1）求点Q的轨迹方程；
（2）若点Q对应曲线与x轴两交点为A，B，点R是该曲线上一动点，曲线在R点处的切线与在A，B两点处的切线分别交于C，D两点，求AD与BC交点S的轨迹方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）设点Q的坐标为（x，y），由题设条件求出点P的坐标为，代入圆M的方程化简就能得到所求点Q的轨迹方程．
（2）设点R的坐标为（x，y）（y≠0），则x²+y²=r²．由题设条件可求得C、D两点的坐标为，
再由直线BC、AD的方程分别为，，两式相乘，得，化简就能得到所求点S的轨迹方程．
解答：解：（1）设点Q的坐标为（x，y），∵，N（3r，0），
∴点P的坐标为，代入圆M的方程化简得x²+y²=r²即为所求点Q的轨迹方程．
（2）设点R的坐标为（x，y）（y≠0），则x²+y²=r²．
圆在R点处的切线方程为：xx+yy=r²．
又切线AC、BD的方程分别为x=-r，x=r，
解方程组可得C、D两点的坐标为，
∴直线BC、AD的方程分别为，，
两式相乘，得，化简得x²+4y²=r²（y≠0）．
∴所求点S的轨迹方程为x²+4y²=r²（y≠0）．
点评：本题考查轨迹方程，有一定的难度，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，耐心寻找数量间的相互关系，注意公式的灵活运用．