Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在 轴上，离心率为 ，且经过点 ，直线 ： 交椭圆于 ， 两不同的点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若直线 不过点 ，求证：直线 ， 与 轴围成等腰三角形.

Answer 1

【答案】
（1）解：设椭圆方程为 ，因为 ，所以 ，

又椭圆过点 ，所以 ，解得 ， ，故椭圆的方程为

（2）解：将 代入 并整理得 ，

再根据 ，求得 .

设直线 ， 斜率分别为 和 ，只要证 即可.

设 ， ，则 ， ，

∴

而此分式的分子等于

可得

因此 ， 与 轴所围成的三角形为等腰三角形.

【解析】（1）根据椭圆离心率公式e=及a2=b2+c2得到a，b的关系式，将点的坐标代入椭圆方程，两方程联立求出a2，b2即可；（2）联立直线方程和椭圆方程，消去y，利用二次方程根与系数关系写出点A和点B横坐标满足的关系式，将kMA+kMB用 点A和点B横坐标，只要证出kMA+kMB=0即可.