Question

【题目】已知抛物线，斜率为的直线交抛物线于，两点，当直线过点时，以为直径的圆与直线相切．

（1）求抛物线的方程；

（2）与平行的直线交抛物线于，两点，若平行线，之间的距离为，且的面积是面积的倍，求和的方程．

Answer 1

【答案】（1）；（2），或者，．

【解析】

（1）设直线方程为，代入得，根据中点坐标公式，结合韦达定理可得圆心坐标，利用弦长公式可得圆的直径，利用圆心到直线的距离等于半径，列方程求解即可得到抛物线的方程；（2）利用点到直线距离公式、弦长公式，结合三角形面积公式可得，同理可得，利用 的面积是面积的倍列方程求解即可.

（1）设AB直线方程为代入得

设∴

当时，，AB的中点为

依题意可知，解之得

抛物线方程为.

（2）O到直线的距离为，

.

因为平行线之间的距离为，则CD的直线方程为

.

依题意可知，即

化简得，∴代入

∴或者.