Question

如图所示，点A（p，o）（p＞0），点R在y轴上运动，点T在x轴上，N为动点，且．
（I）设动点N的轨迹为曲线C，求曲线C的方程；
（II）设P，Q是曲线C上的两个动点，M（x，y）是曲线C上一定点，若，试证明直线PQ经过定点，并求出该定点的坐标．

Answer 1

【答案】分析：（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，则T（-x，0），R（0，），由，知，由此能求出点N的轨迹曲线C的方程．
（II）设，则，．由，得PM⊥QM，k_MP•k_MQ=-1，，由此能推导出直线PQ经过定点（x+4p，-y）．
解答：解：（I）设N（x，y），由知R是TN的中点，
则T（-x，0），R（0，），
∵，
∴，
整理，得y²=4px（p＞0）．
故点N的轨迹曲线C的方程是y²=4px（p＞0）．
（II）设，
则，
．
由，得PM⊥QM，
∴k_MP•k_MQ=-1，
∴，
从而（-1）（y+y₁）（y+y₂）=16p²．
∴（y₁+y₂）y+y₁y₂+y²+16p²=0．①
直线PQ的方程为，
即（y₁+y₂）y-y₁y₂-4px=0．
①可变为（y₁+y₂）（-y）-y₁y₂-4p（x+4p）=0，
∴直线PQ经过定点（x+4p，-y）．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与抛物线的相关知识，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．