Question

如图，在三棱柱中，已知AB⊥侧面BB₁C₁C，AB=BC=1，BB1=2，∠BCC1=

π

3

，E为CC₁上的一点，
（Ⅰ）求证：C₁B⊥平面ABC；
（Ⅱ）在线段CC₁是否存在一点，使得二面角A-B₁E-B大小为

π

4

．若存在请求出E点所在位置，若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：解：（Ⅰ）易得AB⊥BC₁，在△BCC₁中，由余弦定理可得BC1=

3

，结合勾股定理所可得BC⊥BC₁，由线面垂直的判定定理可得结论；（Ⅱ）以B为原点，BC，BC₁，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，可表示出平面AB₁E和平面BEB₁的法向量，由法向量的夹角和二面角的关系可得E的位置．

解答：解：（Ⅰ）因为AB⊥侧面BB₁C₁C，BC₁?侧面BB₁C₁C，故AB⊥BC₁，
在△BCC₁中，BC=1，CC1=BB1=2，∠BCC1=

π

3

，
由余弦定理得：BC12=BC2+CC12-2BC•CC1•cos∠BCC1
=12+22-2×1×2×cos

π

3

=3，计算可得BC1=

3

，…4  分
故BC2+BC12=CC12，所以BC⊥BC₁，
又∵BC∩AB=B，∴C₁B⊥平面ABC．…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，AB，BC，BC₁两两垂直．以B为原点，BC，BC₁，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
如图所示．
则B(0，0，0)，A(0，0，1)，B1(-1，

3

，0)，C（1，0，0），C1(0，

3

，0)．…（7分）
所以

CC1

=(-1，

3

，0)，设

CE

=λ

CC1

（0≤λ≤1），所以

CE

=(-λ，

3

λ，0)，可得E(1-λ，

3

λ，0)
故

AE

=（1-λ，

3

λ，-1），

AB1

=（-1，

3

，-1）．设平面AB₁E的法向量为

n

=（x，y，z），…（8分）
则由

n ⊥ AE n ⊥ AB1

，得

n • AE =0 n • AB1 =0

，即

(1-λ)x+ 3 λy-z=0 -x+ 3 y-z=0

，…（10分）
令y=

3

，则x=

3-3λ

2-λ

，z=

3

2-λ

，∴

n

=（

3-3λ

2-λ

，

3

，

3

2-λ

）是平面AB₁E的一个法向量．…（12分）
∵AB⊥侧面BB₁C₁C，∴

BA

=（0，0，1）是平面BEB₁的一个法向量，
∴|cos＜

n

，

BA

＞|=|

n • BA

| n || BA |

|=|

3 2-λ

1× ( 3-3λ 2-λ )2+( 3 )2+( 3 2-λ )2

|=

2

2

两边平方解得λ=

1

2

，或λ=2（舍去）所以当E在CC₁的中点时二面角A-B₁E-B大小为

π

4

．…（15分）

点评：本题考查直线与平面垂直的判定，以及二面角的平面角及求法，属中档题．