Question

【题目】如图，三棱柱,平面,,,为的中点。

（1）求证：平面；

（2）若，求二面角的余弦值；

（3）若点在线段上，且平面,确定点的位置并求线段的长。

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）连接，交于点，点为的中点，为的中点，求得∥，利用线面平行的判定定理，即可得到∥平面.

（2）以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，求得平面H和平面的法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.

（3）设，根据平面，列出方程组，即可求解.

（1）连接，交于点，则点为的中点，

因为为的中点，所以∥.

又平面，平面，

所以∥平面.

（2）因为平面，∥，

所以平面，又

故以为原点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向

建立空间直角坐标系，

则，

所以

设平面的法向量为，

则有 即

令，则得.

又平面的法向量为，且二面角为锐角，

故二面角的余弦值为

（3）设因为，所以，

.

又 ,,平面，

所以 解得

所以，且点在线段的三等分点处，即