Question

【题目】已知函数（为自然对数的底数）．

（1）求的单调区间；

（2）是否存在正实数使得，若存在求出，否则说明理由；

（3）若存在不等实数，，使得，证明：．

Answer 1

【答案】（1）单调递减区间是，单调递增区间为．（2）不存在（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）先求导数，再求导函数符号确定单调区间：单调递减区间是，单调递增区间为．（2）构造函数，，确定其是否有零点即可，先求导，确定为上的增函数，因此，无零点（3）为研究方便不妨设，，则需证明，构造函数，可证在上单调增，即，因此，而在上递减，即

试题解析：解：（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间为．

（2）不存在正实数使得成立，

事实上，由（1）知函数在上递增，

而当，有，在上递减，有，

因此，若存在正实数使得，必有．

令，

令，因为，所以，所以为上的增函数，所以，即，

故不存在正实数使得成立．

（3）若存在不等实数，，使得，则和中，必有一个在，另一个在，不妨设，．

①若，则，由（1）知：函数在上单调递减，所以；

②若，由（2）知：当，则有，

而，所以，即，

而，，由（1）知：函数在上单调递减，

∴，即有，

由（1）知：函数在上单调递减，所以；

综合①，②得：若存在不等实数，，使得，则总有．