Question

△ABC中，∠B=45°，AC=

10

，cosC=

2 5

5

，
（1）求sinA；（2）求BC的长；（3）若D是AB的中点，求中线CD的长．

Answer 1

分析：（1）根据同角三角函数基本关系，利用cosC求得sinC，进而利用两角和公式求得sinA．
（2）先由cosC求得sinC，进而根据sinA=sin（180°-45°-C）求得sinA，再由正弦定理知求得BC．
（3）先由正弦定理知求得AB，进而可得BD，再在△BCD中由余弦定理求得CD．

解答：解：（1）由 cosC=

2 5

5

，C是三解形内角，
所以可得：sinC=

1-cos2C

=

1-( 2 5 5 )2

=

5

5

所以sinA=sin[π-(B+C)]=sin(B+C)=sin

π

4

cosC+cos

π

4

sinC
=

2

2

•

2

5

5

+

2

2

•

5

5

=

3 10

10

．
（2）由（1）可得：sinA=

3 10

10

所以由正弦定理知 BC=

AC

sinB

•sinA=

10

2 2

•

3 10

10

=3

2

．
（3）由正弦定理可得：AB=

AC

sinB

•sinC=

10

2 2

•

5

5

=2，
因为D是AB的中点，
所以BD=

1

2

AB=1．
在△BCD中由余弦定理知：
CD=

BD2+BC2-2BD•BCcosB

=

1+18-2•1•3 2 • 2 2

=

13

．
所以中线CD的长为

13

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，涉及了同角三角函数基本关系，两角和公式，综合性很强．