Question

【题目】已知函数为偶函数，且.

（1）求的值，并确定的解析式；

（2）若且）,是否存在实数，使得在区间上为减函数.

Answer 1

【答案】（1）或,（2）存在;

【解析】

（1）根据函数为偶函数,且可知且为偶数,即可求得的值,进而确定的解析式.

（2）将（1）所得函数的解析式代入即可得的解析式.根据复合函数单调性对底数分类讨论,即可求得在区间上为减函数时实数的取值范围.

（1）因为

则,解不等式可得

因为

则或或

又因为函数为偶函数

所以为偶数

当时, ,符合题意

当时, ,不符合题意,舍去

当时, ,符合题意

综上可知, 或

此时

（2）存在.理由如下:

由（1）可得

则且

当时,根据对数函数的性质可知对数部分为减函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为增函数且满足在上恒成立

即解不等式组得

当时,根据对数函数的性质可知对数部分为增函数.根据复合函数单调性判断方法可知, 在上为减函数且满足在上恒成立

即解不等式组得

综上可知,当或时, 在上为减函数

所以存在实数,满足在上为减函数