Question

（本小题满分14分）
已知数列满足：其中
（1）当时，求的通项公式；
（2）在（1）的条件下，若数列中，且求证：对于恒成立；
（3）对于设的前项和为，试比较与的大小．

Answer 1

（1）；（2）；（3）＜．

试题分析：(I) 当时,可求出从而可得即因而可确定是首项为公比为的等比数列,据此求出其通项公式；
（II）先求出当时，
,
因为b₁=1也满足上式，因而当时，
然后根据,从得可求出.
(3) 由得：
　
即
从而得到是首项为公比为的等比数列，故,
然后可得　　
＝,
通过分组求和即可求出S_n,到此问题基本得以解决.
（1）当时，
即分
故数列是首项为公比为的等比数列．
故数列的通项公式为　………………………4分
（2）由（1）得，当时，有

…………………6分
也满足上式，故当时，
，
即…………………………8分
（3）解法一：由得：
　
即
是首项为公比为的等比数列，故………………9分

　　＝
　　＝………………………11分
因此，－＝－
＝
＝
＝
＜．……………………14分
解法二：同解法一得 ……………………9分
……………………11分

　　＝

　

＜．…………………14分(其他解法酌情给分)
点评：（1）等差等比数列的定义是判定一个数列是否是等差或等比数列的依据，要勿必掌握.（2）三角函数公式的变形也是解决本题的基础，因此要熟记常见的变形公式如：
，还有等.
（3）在比较两个数或式子大小不易直接比较时，作差比较法是常用也是很有效的方法之一.