Question

已知半径为R的得球面上有三点A，B，C，已知AB，AC之间球面距离都是

πR

2

，BC间的球面距离为

πR

3

，过A，B，C三点作球的截面，则球心到此截面的距离为（　　）

• A．

  21 R

  7

• B．

  7 R

  21

• C．

  7 R

  3

• D．

  3 R

  7

Answer 1

分析：根据球面距离的定义先求出∠AOB、∠BOC的大小，欲求球心O到截面ABC的距离，可设截面圆的圆心为O₁，可通过解直角三角形AOO₁解决．

解答：解：如图，因为球O的半径为R，B、C两点间的球面距离为

πR

3

，
点A与B、C两点间的球面距离均为

πR

2

，所以∠BOC=

π

3

，∠AOB=∠AOC=

π

2

．
∴BC=R，AC=AB=

2

R，
∴由余弦定理得cos∠BAC=

2R2+2R2-R2

2×2R×R

=

3

4

，
∴sin∠BAC

7

4

，
设截面圆的圆心为O₁，连接AO₁，
则截面圆的半径R=AO₁，由正弦定理得r=

BC

2sin∠BAC

=

R

2× 7 4

=

2 7

7

R，
所以OO₁=

OA2-r2

=

R2-( 2 7 7 R)2

=

21 R

7

．
故选A．

点评：本题主要考查了球的性质、正弦定理解三角形以及点面间的距离计算，属于中档题．