Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意(x1 ， y1)∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，则称集合M是“理想集合”，则下列集合是“理想集合”的是（　　）

• A、M={(x ， y)|y=

  1

  x

  }
• B、M={（x，y）|y=cosx}
• C、M={（x，y）|y=x²-2x+2}
• D、M={（x，y）|y=log₂（x-1）}

Answer 1

分析：根据条件只需要判断满足x₁x₂+y₁y₂=0是否恒成立即可．

解答：解：A．y=

1

x

是以x，y轴为渐近线的双曲线，渐近线的夹角为90°，在同一支上，任意（x₁，y₁）∈M，不存在（x₂，y₂）∈M，满足“理想集合”的定义；
对任意（x₁，y₁）∈M，在另一支上也不存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，∴不满足“理想集合”的定义，不是“理想集合”．
B．在函数y=cosx上存在点（0，1）、（

π

2

，0），满足x₁x₂+y₁y₂=0成立，满足“理想集合的”，满足条件．
C．y=x²-2x+2=（x-1）²+1．当点（x₁，y₁）为（0，2）时，若x₁x₂+y₁y₂=0，则y₂=0，不成立，∴C不满足“理想集合”的定义，不是“理想集合”．
D．在y=log₂（x-1）上当点（x₁，y₁）为（2，0）时，若x₁x₂+y₁y₂=0，则2x₂=0，则x₂=0，但函数的定义域为（1，+∞）此时x₂=0，不成立，
∴D不满足“理想集合”的定义，不是“理想集合”．
故选：B．

点评：本题考查“理想集合”的定义，利用对于任意（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，是本题解答的关键，注意存在与任意的区别．难度较大．