Question

【题目】已知椭圆的左右焦点为，过（M不过椭圆的顶点和中心）且斜率为k直线l交椭圆于两点，与y轴交于点N，且.

（1）若直线l过点，求的周长；

（2）若直线l过点，求线段的中点R的轨迹方程；

（3）求证：为定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）根据椭圆的定义，即可求解；

（2）设直线l方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理，求出相交弦中点的参数方程，消去参数，即可求出结论；

（3）表示成坐标关系，将用坐标表示，直线l方程与椭圆方程联立，消元整理为一元二次方程结合韦达定理，即可证明为定值.

（1）解：由题意椭圆的长轴长.

的周长为.

（2）由题意直线.

由得，

由题意恒成立.设，

则，

.

即（k为参数）.

消去k得点R的轨迹方程为.

（3）由得，

所以，同理，

由题意直线l的方程为，代入得

，由题意.

由韦达定理得

.

综上可知λ为定值.