Question

求证:关于x的方程x²+2ax+b=0有实数根,且两根均小于2的充分但不必要条件是a≥2且|b|≤4.

Answer 1

证明：∵a≥2,|b|≤4,∴a²≥4≥b.

∴Δ=4(a²-b)≥0.

∴方程x²+2ax+b=0有实根.

又∵

∴(x₁-2)+(x₂-2)=(x₁+x₂)-4=-2a-4≤-4-4=-8＜0.

而(x₁-2)(x₂-2)=x₁x₂-2(x₁+x₂)+4=b+4a+4≥-4+8+4=8＞0,

∴

由以上知,“a≥2且|b|≤4”方程有实数根且两根均小于2.

再验证条件不必要:取x²-x=0的两根为x₁=0,x₂=1,则方程的两根均小于2,而a=-＜2,

∴“方程的两根小于2”“a≥2且|b|≤4”.

综上,a≥2且|b|≤4是方程有实数根且两根均小于2的充分但不必要条件.