Question

如下图，斜三棱柱ABC－A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥BC₁，AB⊥AC，AB＝3，AC＝2，侧棱与底面成60°角．

(1)求证：AC⊥面ABC₁；

(2)求证：C₁点在平面ABC上的射影H在直线AB上；

(3)求此三棱柱体积的最小值．

Answer 1

答案：
解析：

解析：(1)由棱柱性质，可知A1C1∥AC 　　∵A1C1BC1， 　　∴ACBC1，又∵ACAB，∴AC平面ABC1 　　(2)由(1)知AC平面ABC1，又AC平面ABC，∴平面ABC平面ABC1 　　在平面ABC1内，过C1作C1HAB于H，则C1H平面ABC，故点C1在平面ABC上的射影H在直线AB上． 　　(3)连结HC，由(2)知C1H平面ABC， 　　∴∠C1CH就是侧棱CC1与底面所成的角， 　　∴∠C1CH＝60°，C1H＝CH·tan60°＝ 　　V棱柱＝ 　　∵CAAB，∴CH，所以棱柱体积最小值3．